KPMG Center for Excellence inRisk Management

   

Forschung

KPMG Senior Fellow

Asma Khedher – Backward stochastic differential equations with jumps and applications to finance

Since [1] introduced the theory of backward stochastic differential equations (BSDEs), there has been a wide range of literature about this topic. Researchers have kept on developing results on these equations and recently, many papers have studied BSDEs driven by Lévy processes (see, e.g., [2] and [3]).

In this context Asma Khedher aims at approximating the small jumps in the BSDE by an appropriately scaled Brownian motion. The approximating BSDE consists in a Brownian motion and a compound Poisson process which are both processes easy to simulate.

Studying (partial) hedging strategies is related to the study of BDSEs with jumps. Thus investigating the effect of the small jumps in (partial) hedging strategies as well as investigating the robustness of the (partial) hedging strategies is related to the study of convergence results of the approximating BSDE to the underlying BSDE. In this context, Asma Khedher aims at investigating in further details the consequences of the choice of the model to quadratic hedging: studying whether quadratic hedging strategies are robust toward the choice of the model and also the effect of the small jumps in the quadratic hedging strategies. Moreover, Asma Khedher is studying utility based hedging strategies with application to insurance and electricity market.

The study of the robustness and the estimation of the approximation error aim at convincing practitioners of the applicability of Lévy models since the practitioners are confronted with the question which model to use and face the related question of model risk.

REFERENCES
[1] Bismut, J.M. (1973). Conjugate Convex Functions in Optimal Stochastic Control. J. Math. Anal. Appl., 44, pp. 384–404.
[2] El Otmani, M. (2009). Reflected BSDE driven by a Lévy Process. J. Theor. Probab., 22, pp. 601–619.
[3] Øksendal, B., Zhang, T. (2009). Backward stochastic differential equations with respect to general filtrations and applications to insider finance. Preprint No. 19, September, Department of Mathematics, University of Oslo, Norway.

      

KPMG Junior Fellow

Das KPMG Center of Excellence in Risk Management fördert Promotionen am Lehrstuhl Finanzmathematik. Bei Interesse an einer Promotion am Lehrstuhl Finanzmathematik wenden Sie sich bitte an Prof. Dr. Matthias Scherer oder Prof. Dr. Rudi Zagst.

Beispiele für laufende Förderungen finden sie im Folgenden.

 

Steffen Schenk: Multivariate Ausfallmodelle und deren Einsatz im Finanz- und Versicherungskontext

Seit Jahresmitte 2013 wird die Promotion von Steffen Schenk durch das KPMG Center of Excellence in Risk Management gefördert. Steffen Schenk befasst sich schwerpunktmäßig mit hochdimensionalen multivariaten Ausfallmodellen und deren Einsatz im Finanz- und Versicherungskontext.
Sowohl bei der Modellierung standardisierter Kreditderivate wie Collateralized Debt Obligations (CDOs) als auch der Abbildung der Schadensfälle eines Versicherungsunternehmens besteht das zu Grunde liegende Portfolio aus einer Vielzahl verschiedener Vermögensgegenstände bzw. Einzelpolicen. Die damit verbundenen Ausfallzeitpunkte bzw. die Zeitpunkte der einzelnen Schadensmeldungen sind zufällige Objekte, deren Abhängigkeit durch systemische Effekte – beispielsweise das Auftreten finanzieller oder physischer Erdbeben – induziert wird.
Motiviert durch die Vorstellung externer Abhängigkeitsfaktoren untersucht Herr Schenk sogenannte exogene Schockmodelle, in welchen die Ausfallzeitpunkte jeweils durch eine Menge unabhängiger Zufallsvariablen bestimmt werden. Durch das gleichzeitige Auftreten derselben Zufallsvariable in der Konstruktion unterschiedlicher Ausfallzeitpunkte werden die beschriebenen Wechselwirkungen nachgebildet.
Im geschilderten Modellrahmen beschäftigt sich der Doktorand mit der Charakterisierung der resultierenden Verteilungsfunktion, alternativen Konstruktionsmethoden und der effizienten Bewertung und Implementierung multivariater Derivate.

 

Mirco Mahlstedt: Computational Methods for Option Pricing – Model reduction and methodological risk

Die Promotion von Mirco Mahlstedt wird vom KPMG Center of Excellence in Risk Management gefördert.

Parametrische Optionspreisbewertung und Modellkalibrierung an amerikanischen Optionen bilden die Ecksteine des Promotionsprojekts von Herrn Mahlstedt.

Erster Schritt war eine empirische Untersuchung der de-Americanization Methode. Diese in der Finanzindustrie verbreitete Methode übersetzt amerikanische Optionspreise mit Hilfe von Binomialbäumen in pseudo-europäische Optionspreise bevor der Kalibrierungsprozess gestartet wird. Damit wird die Kalibrierung an amerikanischen Optionen vereinfacht zu einer Kalibrierung an europäischen Optionen. Die Ergebnisse dieser Untersuchung zeigen jedoch, dass die de-Americanization-Methode nicht für jedes Parameterszenario und in jedem Zinsumfeld zuverlässige Resultate liefert.  

Der Bedarf, immer wiederkehrende, parameterabhängige Aufgaben – Optionspreisbewertung, Kalibrierung und Risikobewertungen – sowohl genau als auch in Echtzeit auszuwerten zu können, motivieren den Schritt zu Vereinfachungstechniken, die die Komplexität genau dieser Aufgaben reduzieren. Die Chebyshev Interpolation und die reduzierte Basen Methode bilden hierbei die beiden Hauptsäulen. Die Chebyshev Interpolation lost die wiederkehrende Natur durch eine Polynominterpolation im entsprechenden Parameterraum. Durch einen Kriterienkatalog für exponentielle Konvergenz und durch explizite Fehlerschranken ermöglicht diese Methode eine Reduzierung der Laufzeiten bei gleichzeitigem Erhalt der Genauigkeit. Während die Chebyshev Interpolation eine universelle Methode ist und zur Bestimmung der Funktionswerte an den Interpolationsstützstellen jegliche Bewertungsmethode verwendet werden kann, ist die reduzierte Basen Methode eine auf partielle Differenzialgleichungen zugeschnittene Methode. Die Kernidee hierbei ist, die hochdimensionalen Basen von Standardtechniken wie der Finiten Elemente Methode mit einer an das jeweilige Problem adjustierten Basis zu ersetzen, die eine niedrigere Dimension hat. Dadurch wird der numerische Aufwand, parameterabhängige partielle Differentialgleichungen zu lösen, deutlich reduziert. 

Betreuerin: Prof. Dr. Kathrin Glau

 

Christian Pötz: Complexity reduction techniques for accurate real-time evaluations in pricing and risk management

In seinem Promotionsprojekt beschäftigt sich Herr Pötz mit der Anwendung von numerischen Methoden zur effizienten Lösung komplexer finanzmathematischer Probleme.

Die Echtzeit Bewertung und Risikoanalyse von großen Portfolien gehört zu den wichtigsten und gleichzeitig rechnerisch aufwendigsten Problemstellungen von Finanzinstituten. Von großem Interesse sind hierbei Methoden, die einerseits sehr genau und andererseits trotzdem noch schnell sind. Dieser Bedarf motiviert, mit der Hilfe von Vereinfachungstechniken die Komplexität solcher Probleme zu reduzieren.

Ausgangspunkt des Promotionsprojektes sind immer wiederkehrende, parameterabhängige Problemstellungen, im Bereich der Optionspreisbewertung und des Risiko Managements, bei denen dieselben Berechnungen für unterschiedliche Parameterkonstellationen durchgeführt werden müssen. Die Anwendungen von klassischen Bewertungsmethoden wie Monte Carlo Simulation, Fourier Methoden und PDE Methoden kann hier sehr zeitaufwendig sein und daher versprechen Interpolationsmethoden einen merklichen Effizienzgewinn.

Im Fokus steht zum einen die Polynominterpolation durch Chebyshev Polynome und zum anderen die empirische Integration mit Hilfe der sogenannten Magic Points. Beide Methoden zeichnet ein sehr schneller Fehlerabfall aus und explizite Fehlerschranken sind vorhanden.

Aufbauend auf bestehende Forschung der Gruppe von Prof. Dr. Kathrin Glau, soll nun der mögliche Effizienzgewinn der Methoden bei der Anwendung auf Probleme der Finanzmathematik analysiert werden. Wichtige Schritte sind dabei die Behandlung von Sensitivitäten und die Ausdehnung auf höherdimensionale Anwendungsbeispiele.

Betreuerin: Prof. Dr. Kathrin Glau

 

Thorsten Schulz: Konstruktion abhängiger zusammengesetzter Poissonprozesse

Das KPMG Center of Excellence in Risk Management fördert die Promotion von Thorsten Schulz am Lehrstuhl Finanzmathematik. Aktuell arbeitet Thorsten Schulz an einer Konstruktion von abhängigen zusammengesetzten Poissonprozesse, die mit sehr wenigen Parametern auskommt. Dabei ist es möglich, die Abhängigkeitsparameter von den Randverteilungen zu trennen. Als Anwendungsgebiete werden multivariate Erweiterungen des Barndorff-Nielsen-Shephard-Modells und des Kou-Jump-Diffusion-Modells betrachtet. Diese Trennungseigenschaft lässt eine einfache Kalibrierung der Modelle an Marktpreise zu. Zunächst werden mithilfe von Marktpreisen univariater Finanzinstrumente, wie zum Beispiel Put- / Call-Optionen, die Parameter für die eindimensionalen Modelle bestimmt. Im zweiten Schritt setzt man die Abhängigkeitsparameter fest, ohne dabei die Randverteilung zu verändern. Mit den kalibrierten multivariaten Modellen ist dann eine Bewertung von exotischen Finanzinstrumenten, die von mehr als nur einem Basiswert abhängen, möglich.

     

Vorträge